مدیاهای مورد استفاده در فرآیند فیلتراسیون دارای ویژگیهایی هستند که فراتر از خواص مکانیکی نظیر استحکام و سختی میباشند، و شامل پارامترهایی همچون نفوذپذیری، تخلخل و اندازه حفره نیز میشوند. این ویژگیها نقش تعیینکنندهای در عملکرد فیلتراسیون دارند. در تحلیل رفتار مدیای بیبافت، درک صحیح مفاهیم علمی مانند تخلخل و نفوذپذیری اهمیت ویژهای دارد زیرا هر یک از این مفاهیم نمایانگر جنبهای متفاوت از ساختار فیزیکی و عملکردی ماده هستند. سه پارامتر کلیدی — ضخامت، نفوذپذیری هوا و اندازه حفره — بیشترین تأثیر را بر بازده، ظرفیت نگهداری ذرات و میزان افت فشار ایجادشده توسط مدیا دارند. از آنجا که این پارامترها غالباً در تضاد عملکردی با یکدیگر قرار میگیرند، طراحی بهینه فیلتر باید به گونهای باشد که در آن نفوذپذیری و ضخامت به حداکثر و اندازه حفرهها به حداقل مقدار ممکن برسد تا عملکرد مطلوب فیلتراسیون حاصل شود.
ویژگیهای مدیا نه تنها شامل خواص مهندسی کلاسیک مانند استحکام و سختی میشوند، بلکه ویژگیهایی مانند نفوذپذیری و اندازه حفره را نیز در بر میگیرند که با عملکرد فیلتراسیون ارتباط دارند.
در دنیای بیبافتها، واژهها همهچیز هستند. تعداد زیادی واژه وجود دارد که افراد مختلف آنها را بهگونههای متفاوتی به کار میبرند، و گاهی نیز در زمینههای نادرست استفاده میشوند. برای مثال، بسیاری از افراد از واژهی تخلخل (porosity) استفاده میکنند، در حالی که منظورشان نفوذپذیری (permeability) است. این دو واژه به هم مرتبطاند، اما هر یک بیانگر ویژگی متفاوتی از مدیاهای فیلتر بیبافت هستند.
ویژگیهای اصلی الیاف که بر عملکرد فیلتراسیون تأثیر میگذارند، آنهایی هستند که برای بهینهسازی ضخامت (bulk)، نفوذپذیری هوا (air permeability) و اندازه حفره (pore size) در مدیا طراحی میشوند. ضخامت و نفوذپذیری هوا به تخلخل شبکه الیاف مربوطاند و هر دو بر ظرفیت نگهداری ذرات (dirt holding capacity) تأثیر میگذارند.
نفوذپذیری هوا یکی از عوامل کلیدی در طراحی فیلتر است، زیرا تعیینکننده نوع، ظرفیت و اندازه پمپ، دمنده یا فن مورد نیاز برای عبور سیال از میان مدیا خواهد بود.
اندازه حفره (pore size) نیز به اندازه ذراتی که قادر به عبور از فیلتر هستند مربوط است، و در نتیجه مستقیماً بر بازده فیلتراسیون (filtration efficiency) اثر میگذارد.
این سه ویژگی — ضخامت، نفوذپذیری هوا و اندازه حفره — همیشه با یکدیگر هماهنگ نیستند، بلکه در تضاد عملکردی با یکدیگر قرار دارند. بهطور کلی، هدف طراحی فیلتر آن است که ضخامت و نفوذپذیری هوا را حداکثر و در عین حال اندازه حفره را حداقل کند.
ویژگیهای الیافی که باعث افزایش ضخامت و نفوذپذیری میشوند، همانهایی نیستند که اندازه حفره را کاهش دهند. الیاف ظریف (با قطر کم) باعث ایجاد ساختار متراکمتر، حفرههای کوچکتر و در نتیجه بازده بالاتر فیلتراسیون میشوند. برعکس، الیاف ضخیمتر شبکهای پُرحجمتر و با نفوذپذیری بالاتر ایجاد میکنند، اما این به افزایش اندازه حفرهها و کاهش بازده فیلتراسیون منجر میشود.
بنابراین، طراحی یک مدیای فیلتری نیازمند مصالحه (trade‑off) در انتخاب الیاف و ترکیب ویژگیهای آنها است.
آزمون نفوذپذیری هوا که یکی از آزمونهای بنیادی برای توصیف مدیای فیلتر بیبافت است، بر اساس قانون دارسی انجام میشود. در این آزمون، نرخ جریان هوای عبوری از سطح مشخصی از مدیای فیلتر در یک افت فشار معین اندازهگیری میشود. نرخ جریان هوایی که به این روش اندازهگیری میگردد، «نفوذپذیری هوای مدیا» نامیده میشود.
برای جریان عبوری از مدیاهای متخلخل، معادلات پیوستگی و حرکت میتوانند با معادله زیر جایگزین شوند.
که در آن:
معادله ۱ به عنوان قانون دارسی شناخته میشود. این یکی از معادلات اساسی مربوط به جریان از میان مدیای متخلخل است. در مورد مدیای متخلخل تخت که جریان سیال عمود بر سطح مدیا است، قانون دارسی به صورت زیر ساده میشود:
که در آن (بر حسب Pa/m) گرادیان فشار دیفرانسیلی در ضخامت یا جهت z مدیا است. اگر مدیا یک پارچه بیبافت باشد، معادله ۳ میتواند بیشتر ساده شود:
که در آن سرعت سطحی مدیا است که به صورت جریان حجمی بر واحد مساحت مدیا (m³/m²·s) بیان میشود و افت فشار (بر حسب Pa) در سراسر ضخامت (بر حسب متر) پارچه است.
لازم به ذکر است که سرعت سطحی (superficial velocity) است. Bird، Stewart و Lightfoot آن را بهصورت نرخ حجمی جریان از میان واحدی از سطح مقطع جامد بههمراه سیال توصیف میکنند [۱]. این مقدار بر روی ناحیهای کوچک از فضا میانگینگیری میشود — ناحیهای که در مقیاس ابعاد ماکروسکوپی سیستم جریان کوچک است، اما در مقیاس اندازهی حفرهها (pore size) بزرگ محسوب میشود.
ثابت نفوذپذیری (permeability constant) که در اینجا تعریف شده و اغلب به سادگی “نفوذپذیری” نامیده میشود، و نفوذپذیری هوا (air permeability) که یک خاصیت آزمایشی برای مدیاهای فیلتر بیبافت است (که اغلب به عنوان نفوذپذیری فریزر (Frazier permeability) شناخته میشود).
نکته مهم این است که نفوذپذیری هوا در واقع همان (سرعت سطحی) در قانون دارسی است. این نفوذپذیری هوا مستقیماً با ثابت نفوذپذیری دارسی مرتبط و متناسب است، زیرا سایر متغیرها در آزمون (مانند افت فشار، ضخامت، و ویسکوزیته هوا) ثابت در نظر گرفته میشوند. هم نفوذپذیری هوا و هم ثابت نفوذپذیری به طور مستقیم به خواص ساختار مدیا یا ساختار متخلخل آن مربوط میشوند.
قانون دارسی (Darcy’s law) در ابتدا برای جریان در بسترهای پرشده (packed beds) توسعه یافته است. این قانون فقط برای جریانهای لزج (viscous flow) معتبر است و در شرایطی که عدد رینولدز (Reynolds number) کمتر از ۱ باشد، کاربرد دارد.
Wakeman و Tarleton بیان میکنند که عدد بدونبعد رینولدز، ، هنگامی که برای بسترهای پرشده محاسبه میشود، بر اساس اندازهی ذره تعریف میگردد و معمولاً از نسبت میانگین حجم به سطح (mean volume-to-surface size ratio) تعیین میشود [۲].
در مورد مدیاهای فیلتری بیبافت (nonwoven filter media)، ساختار منافذ (pore structure) آنقدر کوچک است که نگرانیهای مربوط به عدد رینولدز بالا و جریان آشفته (turbulence) معمولاً مطرح نمیشوند. بنابراین، قانون دارسی را میتوان برای مدیاهای بیبافت نیز بهکار برد.
آزمایش نفوذپذیری هوا (air permeability test) که اساس توصیف ویژگیهای مدیاهای فیلتری بیبافت است، بر پایه قانون دارسی انجام میشود. در این آزمایش، نرخ جریان هوا از میان سطح معینی از مدیای فیلتری در اختلاف فشار مشخصی اندازهگیری میشود. این نرخ جریان هوا که اندازهگیری میشود، همان نفوذپذیری هوا (air permeability) مادهی فیلتر است.
این معادله جریان لمینار سیال را در داخل یک استوانه توصیف میکند. فرمول آن به شرح زیر است:
متغیرها شامل:
این معادله برای تعریف ثابت نفوذپذیری (k) در قانون دارسی استفاده میشود. فرمول آن به صورت زیر است:
متغیرها شامل:
منشأ معادله Kozeny-Carman: این معادله از شکل سرعتی معادله Hagen-Poiseuille مشتق شده است. ابتدا، معادله Hagen-Poiseuille برای سرعت متوسط در استوانه (μ’) بازنویسی میشود:
که در آن μ’ سرعت متوسط از درون استوانه (m/s) است.
مفروضات بر اساس یک بستر متراکم است که مانند دستهای از لولههای مویین است که جهتگیری آنها نسبت به سطح مدیا ۴۵ درجه و نسبت به جریان ورودی به مدیا نیز ۴۵ درجه است. فرض میشود که انرژی جریان که توسط سیال هنگام تماس با سطح مویین از دست میرود، مشابه انرژی است که توسط سیال در حال جریان هنگام تماس با سطوح داخلی واقعی مدیا از دست میرود. شعاع هیدرولیک (m) به صورت زیر تعریف میشود [۲]:
در یک لوله دایرهای مستقیم، قطر هیدرولیک (Dh) و قطر لوله (Dc = ۲rc) یکسان هستند. اما در مدیاهای واقعی، حفرهها (منافذ) استوانههای کامل نیستند. مسیر آنها مستقیم نبوده و بلکه پیچ و خمدار است. طول مسیر پیچ و خمدار از طریق یک حفره Le (متر) است. نسبت Le به ضخامت مدیا، L، ضریب پیچ و تاب (tortuosity factor) نامیده میشود:
اگر μ’ در معادله ۸ نشاندهنده سرعت در یک حفره استوانهای باشد، آنگاه سرعت v در یک حفره پیچ و خمدار (m/s) با μ’ از طریق رابطه زیر مرتبط است:
اگر L = Le و v = μ۰ در نظر بگیریم، معادله ۸ به صورت زیر در میآید:
سرعت v با ν۰، سرعت سطحی قانون دارسی، به صورت زیر مرتبط است:
با ترکیب معادلات ۹ و ۱۳ در معادله ۱۴، به رابطه زیر میرسیم:
مقدار κ۰ برابر با ۲ است اگر حفرهها دایرههای کامل باشند؛ اما برای اشکال مستطیلی، حلقوی و بیضوی، κ۰ مقادیری بین ۲ تا ۲.۵ دارد. یکی از مفروضات این بود که جریان مویین از طریق مدیا با زاویه ۴۵ درجه نسبت به سطح مدیا است. در این صورت:
بر اساس κ۰ = ۲.۵ و (Le/L)^2=2، مقدار K برابر با ۵ خواهد بود. با جایگذاری در معادله ۱۵، معادله Kozeny-Carman حاصل میشود:
معادله Kozeny-Carman برای بسترهایی که جامدیت (solidity) آنها (χ۰=(۱-ϵ۰)) بیشتر از ۰.۲ است (یعنی ϵ۰<0.8) کاربرد دارد. لازم به ذکر است که نویسنده از ϵ۰، تخلخل در دسترس یا اضافی الیاف، به جای ϵ، تخلخل واقعی، و از χ۰، جامدیت ظاهری، به جای χ، جامدیت بر اساس مواد جامد غیرمتخلخل در وب، استفاده کرده است. دلیل این امر این است که بخش زیادی از فضای خالی در مدیاهای بیبافت ممکن است برای جریان هوای قابل نفوذ در دسترس نباشد. به عنوان مثال، الیاف سلولزی مانند پنبه، خمیر چوب و الیاف گیاهی دارای ساختارهای سلولی داخلی هستند. به همین دلیل به آنها سلولزی گفته میشود. در یک مدیای فیلتر، این سلولهای داخلی که در دیواره الیاف قرار دارند، ممکن است به حجم فضای خالی مدیا کمک کنند، اما ممکن است بخشی از فضای خالی قابل نفوذ که در آن جریان قابل توجهی رخ میدهد، نباشند. ϵ۰ حجم فضای خالی خارج از ساختار الیاف است. برای الیاف جامد و غیرمتخلخل مانند شیشه و بسیاری از الیاف پلیمری مصنوعی، به نظر میرسد که ϵ۰=ϵ. با این حال، Jena و Gupta [3] همچنین حفرههای کور و بستهشده را شناسایی کردند که ممکن است خارج از دیوارههای الیاف مدیای فیلتر وجود داشته باشند. Jena و Gupta [3] خاطرنشان کردند که اگرچه حفرههای کور به سیال اجازه عبور نمیدهند، اما ممکن است سیالات را جذب کرده، ذرات ریز را به دام بیندازند و در واکنشها شرکت کنند.
Lindsay [4] این مشکل را برای جریان آب در صفحات خمیر (pulp mats) مورد بررسی قرار داد. او به ساختار سلولی الیاف اشاره کرد که برای جریان سیال در دسترس نیست و آن را به عنوان الیاف متورمشده (swollen fiber) معرفی نمود.
او εrel را به عنوان کسری از کل فضای متخلخل که برای جریان سیال باز است تعریف کرد. اندازهگیریهای لیندزی نشان دادند که مقدار εrel بین حدود ۴۵٪ تا ۷۰٪ متغیر است. لیندزی ε₀ را بر حسب α و c تعریف کرد:
در این تعریف:
با جایگذاری معادله (۱۸) در ثابت نفوذپذیری معادله کوزنی–کارمن (معادله ۷ پیشین) و مرتبسازی، رابطه زیر حاصل میشود:
در این رابطه:
همچنین:
معادله (۱۹) یک معادله کلاسیک برای صفحات خمیر سلولزی (pulp mats) است. عدد ۵.۵۵ به عنوان مقدار ثابت کوزنی (K) در اینجا استفاده شده است.
ویژگی مهم این معادله آن است که امکان تعیین تجربی α و S را در شبکههای الیافی با درجات مختلف فشردگی فراهم میکند. این کار با استفاده از روشهای تجربی و رسم نمودار (kc^2 )^(3/1) بر حسب c انجام میشود، که در آن α از شیب نمودار و S از عرض از مبدأ بهدست میآیند.
معادله Kozeny–Carman (معادله ۱۷) بر اساس جریان مایع از میان بستری تخت از مدیای فیلتر مانند شن بنا شده است.
این معادله همچنین میتواند برای شبکههای الیافی (fibrous webs) مورد استفاده قرار گیرد.
با این حال، محدودیت آن در این است که درصد مواد جامد (solidity) باید بیش از ۲۰٪ باشد، در حالی که بیشتر مدیاهای فیلتراسیون هوا دارای تخلخل بیش از ۸۰٪ (یا درصد مواد جامد کمتر از ۲۰٪) هستند. بنابراین، برای فیلتراسیون هوا رویکرد متفاوتی لازم بود.
Davies رابطهای برای جریان هوا از میان بسترهای الیافی (fibrous pads) توسعه داد که به صورت زیر بیان میشود:
که در آن:
Davies توسعه خود را بر اساس جریان پیرامون یک لیف منفرد و قانون دارسی بنا کرده است.
او بیان نمود که بین دانسیته بستهبندی (χ = ۱ – ε) و گروه بیبُعد زیر باید رابطهای یکتا وجود داشته باشد:
Davies دادههای تجربی مربوط به چندین بستر فیلتر (مطابق شکل ۱) را بررسی کرد و دریافت که پراکندگی دادهها بهخوبی با مدل پیشنهادی معادله (۲۱) قابل توجیه است.
او مشاهده کرد که این پراکندگی بیشتر مربوط به تودههای الیاف (clumps)، جهتگیری الیاف (fiber orientation) و نوع الیاف (fiber type) است، اما به طول الیاف وابسته نیست.
Davies همچنین ذکر کرد که این معادله فقط تا اعداد رینولدز Re ≤ ۱ معتبر است، که در آن:
و ν سرعت متوسط داخلی جریان در عمق مدیا است.
نکته مهم آنکه نظریه Davies بر پایه جریان پیرامون یک لیف منفرد است، بنابراین وابسته به قطر لیف (df) میباشد.
این با معادله Kozeny–Carman متفاوت است، زیرا Kozeny–Carman از دیدگاه اندازه حفرهها و مسیرهای استوانهای در محیط متخلخل توسعه یافته است.
البته باید توجه داشت که در معادله Kozeny–Carman نیز قطر الیاف نقش مهمی دارد، زیرا تعیینکننده سطح مؤثر ( ) در فیلتر است.
پیش از کار Davies، چندین پژوهشگر پیشگام از جمله Albrecht [5]، Sell [6]، و Kaufman [7] الگوهای جریان پیرامون آرایههایی از استوانههای موازی را بررسی کردند.
Albrecht نخستین کسی بود که مدل تکاستوانهای را به کار برد و کار او بهعنوان پژوهشی پیشرو شناخته شد. اما برای در نظر گرفتن تأثیر تداخل الیاف مجاور (interference effects)، نیاز به پیشرفتهای بیشتر بود.
Langmuir [8] با رویکردی خلاقانه فرض کرد که مجموعهای از استوانههای موازی با جهت جریان وجود دارد. هر استوانه که نماینده یک لیف است، توسط فضای خالی ششضلعی احاطه شده است که با فضاهای خالی الیاف مجاور مرز مشترک دارد (چیدمان لانهزنبوری یا honeycomb arrangement، مطابق شکل ۲).
سپس فرض کرد هر ششضلعی را میتوان با دایرهای هممساحت تقریب زد. این سادهسازی مسئله را به جریان در امتداد یک استوانه هممحور فروکاست:
در حل کلاسیک این مسئله (به نقل از Bird, Lightfoot Stewart,)، پروفیل سرعت بین دو استوانه پارابولیک است و سرعت در دیواره هر دو صفر است. اما Langmuir این شرط را تغییر داد و فرض کرد که سرعت در دیواره بیرونی به حداکثر مقدار خود میرسد، زیرا آن نقطه مرز سیال پیرامون هر لیف است. او همچنین فرض کرد گرادیان فشار فقط در امتداد محور x وجود دارد و اثرات اینرسی قابل صرفنظر است.
در نتیجه، معادله افت فشار به صورت زیر نوشته شد:
این معادله بیان میکند که نیروی برشی با نیروی فشاری در حال تعادل است؛ بنابراین در راستای محور x شتابی رخ نمیدهد.
با دو بار انتگرالگیری، معادله پروفایل سرعت بین سطح لیف و دیواره خارجی بهدست میآید:
که در آن:
با انتگرالگیری از رابطه (۲۵) بهدست میآید:
که نتیجه آن:
در اینجا درصد جامد بودن (solidity) یا سهم حجمی اشغالشده توسط الیاف در فیلتر تعریف میشود بهصورت:
Langmuir تابعی را تعریف کرد که معکوس عبارت داخل پرانتز معادله (۲۷) است:
او با استفاده از تشابه بین قانون Poiseuille برای جریان در لوله و قانون اهم در الکتریسیته، رابطه زیر را ارائه کرد:
که در آن:
L طول استوانه است (بر حسب متر).
ΔL تصحیح مربوط به اثر ورود سیال به استوانه است (بر حسب متر).
مقدار مقاومت پایه Hagen-Poiseuille بهصورت زیر است:
با ترکیب روابط (۲۷)، (۲۹)، (۳۰)، و (۳۲)، Langmuir مقاومت مدل خود را چنین بیان کرد:
که در آن A سطح کل فیلتر است (m²).
Langmuir اذعان داشت که مدل او نماینده واقعی ساختار فیلترها نیست زیرا:
بنابراین، او یک ضریب تصحیح B اضافه کرد که بر پایه مطالعه جریان پیرامون بیضویهای کشیده (prolate ellipsoid) بود. بیضوی کشیده با دوران یک بیضی حول محور بلندش تشکیل میشود (شبیه تخممرغ).
اگر نسبت a/b (طول به قطر) بزرگ شود، نسبت نیروهای لازم برای حرکت ذره در حالتهای مختلف جریان به حدود ۲ میل میکند.
از این مفهوم، Langmuir نتیجه گرفت که مقاومت جریان در حالت الیاف متقاطع نباید بیش از دو برابر حالت موازی باشد و معمولاً نزدیک ۱.۴۷ برابر است.
بنابراین معادله نهایی اصلاحشده او چنین شد:
که در آن B ضریب اصلاح زاویه جهتگیری الیاف است (حدود ۱.۴۷ تا ۲).
مدل Happel و Kuwabara
باید توجه داشت که Langmuir [7] در حال مطالعهی فیلتراسیون آئروسل بود و مدل خود را برای یک سیال گازی پایهگذاری کرد. او مدلی برای عبور جریان از میان مدیاهای فیلتری متشکل از الیاف موازی با جریان توسعه داد و سپس یک ضریب تصحیح را برای الیافی که عمود بر جریان هستند توجیه نمود. Happel [9] و Kuwabara [10] هر دو مسئلهی جریان عرضی را حل کردند. هر دو راهحل بر پایهی استفاده از دو استوانهی متحدالمرکز بود که برای نمایش مدلی از جریان سیال در میان مجموعهای از استوانهها به کار رفت. همانگونه که در شکل ۳ دیده میشود، نقطهی آغاز این مدل بسیار مشابه مدل Langmuir است.
درصد جامد بودن سلول در شکل ۳ برابر است با:
توجه شود که معادله ۳۵ با معادله ۲۷ Langmuir یکسان است. اگر در ناحیهی فیلتر N سلول از این نوع وجود داشته باشد، در این صورت معادلهی ۳۵ بیانگر درصد جامد بودن کل مدل خواهد بود.
در این بحث، ما روند توسعهی مدل Happel [8] را دنبال خواهیم کرد و سپس تفاوتهای بین مدل Happel و مدل Kuwabara را یادآوری خواهیم نمود.
Happel مفروضات زیر را در نظر گرفت:
۱. عدم لغزش در مرزهای سلول، یعنی در شعاعهای a و b.
۲. مسیر آزاد میانگین مولکولهای گاز در مقایسه با بعد a (شعاع استوانه داخلی) بسیار کوچک است.
۳. شکل مقطع عرضی سلول با یک دایره تقریب زده میشود که مساحت آن با مساحت مقطع واقعی هندسه سلول برابر است. در واقع، مرز بیرونی سلول در b یک استوانه است.
Happel با معادلات حرکت شروع کرد و از تابع جریان (stream function) ψ استفاده نمود:
در اینجا vr و vθ مؤلفههای سرعت (m/s) در مختصات قطبی θ و r هستند، با فرض اینکه محور استوانه داخلی r=0 است.
او سپس فرض کرد که سیستم را میتوان با معادلهی بیهارمونیک (biharmonic equation) نشان داد:
راه حل عمومی معادله ۳۷ به صورت زیر است:
که در آن C، D، E۰ و F ثابتهایی هستند که از شرایط مرزی به دست میآیند.
برای تعیین ثابتهای شرایط مرزی، Happel فرض کرد که استوانه در شکل ۴ در حال حرکت است و لایهی سیال اطراف آن ساکن است. این وضعیت نتیجهای مشابه، اما با علامت منفی، نسبت به حالتی خواهد داشت که لایهی سیال متحرک و استوانه ساکن باشد. این امر منجر به شرایط مرزی زیر در سطح استوانه، جایی که r=a است، شد:
u و vf به ترتیب سرعت استوانه و سرعت سطحی آن هستند (به شکل ۵ مراجعه کنید).
در استوانه خارجی شکل ۵، که در آن r=b است، Happel [9] فرض کرد که هیچ تنش برشی وجود ندارد، یعنی σrθ=۰، و هیچ مولفه سرعتی شعاعی وجود ندارد، یعنی vr=۰. Yuan [11] معادلات حرکت را در مختصات استوانهای استخراج کرد و روابط زیر را برای تنش نرمال (σrr) و تنش برشی (σrθ) ارائه داد:
که در آن εrr کرنش نرمال و γrθ کرنش برشی است.
برای یک سیال ویسکوز تراکمناپذیر، معادله پیوستگی برابر با صفر است:
Happel [9] فرض کرد که اگر vr=۰ باشد، آنگاه:
با در نظر گرفتن معادلات ۴۴ و ۴۵ در معادله ۴۲، آن به صورت زیر کاهش مییابد:
کرنش برشی γrθ به صورت زیر تعریف میشود:
اگر فرض Happel مبنی بر σrθ=۰ پذیرفته شود، با ترکیب معادله ۴۷ در معادله ۴۳ داریم:
معادله ۴۵ به همراه vr=۰ به شرایط مرزی برای توسعه Happel تبدیل میشود.
در این مرحله، مقایسه شرط مرزی Kuwabara مفید خواهد بود. مانند Happel، Kuwabara فرض کرد که vr=۰ در استوانه خارجی، جایی که r=b، برقرار است. برخلاف Happel، Kuwabara فرض کرد که گردابی در استوانه خارجی وجود ندارد. در نتیجه، معادله مرزی او به صورت زیر است:
با مقایسه معادله ۴۹ با معادله ۴۸، متوجه میشویم که تنها تفاوت، تغییر علامت در دو جمله است. با این حال، این تفاوت باعث ایجاد تفاوتهای قابل توجهی در معادلات حاصل میشود. هر دو Happel و Kuwabara در حل جریان موازی با استوانهها (معادله ۳۴) با لانگمویر یکسان بودند. مدلهای آنها برای جریان عمود بر استوانهها به شرح زیر است:
توجه داشته باشید که معادلات ۵۰ و ۵۱ در آرایش بدون بعد (معادله ۲۴) ارائه شدهاند. تفاوت بین مدلهای Happel و Kuwabara این سوال را مطرح میکند که کدام یک دقیقتر است. Kirsch و Fuchs [12]، با استفاده از کرههایی با قطر ۲۰ تا ۳۰ میکرومتر و چگالی برابر با سیال اطراف، سرعتی را تعیین کردند که بیشتر با Kuwabara مطابقت داشت تا Happel. Brown [13] بیان میکند که “از بین این دو نظریه، نظریه Kuwabara با آزمایش مطابقت بهتری دارد و احتمالاً محبوبترین مدل جریان هوا از فیلتر تا به امروز است.” مخرج معادله Kuwabara (معادله ۵۱) تقسیم بر دو، فاکتور هیدرودینامیکی کووابارا Ku را میدهد. چندین محقق در توسعه نظریههای بعدی از این فاکتور استفاده کردهاند.
بهروزرسانیهای متعددی در نظریههای ارائهشده توسط Kuwabara و هاپل Happel صورت گرفته است. Pich [14] مدل Kuwabara را با این فرض اصلاح کرد که در سطح استوانه داخلی مقداری لغزش جریان (slippage) وجود دارد.
نتیجهی حاصل، بهصورت بیبعد شده (طبق روابط Davies) به شکل زیر بیان میشود:
در اینجا Kn عدد نادسن (Knudsen) است که به صورت زیر تعریف میشود:
که در آن:
Pich [15] بیان میکند که معادله او برای شرایطی معتبر است که در آن λ در مقایسه با قطر الیاف df بسیار کوچک باشد.
منطقه قابل اعمال این رابطه Kn<0.25 است.
Grafe و Graham [16] گزارش کردهاند که در قطرهای پایینِ الیاف (حدود ۰٫۵ میکرومتر) باید اثر جریان لغزشی (Slip Flow) در نظر گرفته شود. جریان لغزشی به یکی از ملاحظات مهم در فیلتراسیون نانوالیاف تبدیل شده است، بهویژه در مواردی مانند تارهای الکتروریسیشده (electrospun webs).
Chase [17] بیان میکند که:
«یکی از مزایای نانوالیاف برای فیلتراسیون در فاز گازی، پدیدهی جریان لغزشی است.»
Brown [13] اشاره میکند که نقطه قوت نظریه مدل سلولی، سادگی آن است. او فرض میکند که یافتن جریان هوا در اطراف یک لیف دایرهای منفرد، نماینده کل فیلتر است. براون خاطرنشان میکند که در یک مدیای واقعی، همه الیاف عمود بر جریان نیستند و همچنین قطر یکنواختی ندارند. علاوه بر این، مقطع لیف لزوماً دایرهای نیست. او همچنین اشاره میکند که چگالی بستهبندی در سراسر الیاف متغیر است. Brown اذعان دارد که هیچ نظریه موجودی وجود ندارد که به تمام این مشکلات بپردازد، با این حال، تعدادی اصلاحیه وجود دارد. Miyagi از رویکرد متغیر مختلط برای در نظر گرفتن فیلتر به عنوان یک ردیف بینهایت از الیاف موازی با فاصله یکنواخت استفاده کرد. طبق گفته براون، این رویکرد نتایجی مشابه نظریه سلولی ارائه داد، به شرطی که فاصله بستهبندی بین لایههای متوالی ردیفها برابر با فاصله بین الیاف در یک ردیف باشد.
Kirsch و Fuchs [12] رویکرد مدل بادبزنی را بررسی کردند. این رویکرد شامل صفحات متوالی از الیاف موازی است؛ با این حال، الیاف در هر صفحه در زاویهای دلخواه نسبت به الیاف موازی در صفحه قبلی چرخانده میشوند. مدل بادبزنی بر اساس پراکندگی همگن کامل الیاف است. در فیلترهای واقعی، الیاف به این صورت همگن پراکنده نشدهاند. مدل بادبزنی مقاومت بالاتری نسبت به فیلترهای واقعی پیشبینی کرد، بنابراین یک عامل ناهمگنی برای همتراز کردن فیلتر واقعی با مدل بادبزنی معرفی شد.
این فرض که فاصله بین لایههای یک مدیای فیلتر با فاصله بین الیاف در یک لایه یکسان است، لزوماً درست نیست. در یک فیلتر عمقی، آرایههای متوالی از الیاف موازی سادهترین رویکرد برای توسعه یک مدل نظری هستند. دو آرایه از این دست در شکل ۴ به تصویر کشیده شدهاند. استوانهها مقاطع الیاف موازی عمود بر جهت جریان را نشان میدهند. هر ردیف عمودی از استوانهها یک لایه از مدیای فیلتر را نشان میدهد. فاصله بین الیاف موازی در یک لایه ۲L است. فاصله بین لایهها ۲e است. ساختار کانالی فرض میکند که الیاف در هر لایه مستقیماً پشت الیاف لایه جلویی قرار میگیرند. مدل ناهمتراز، حالتی را نشان میدهد که در آن همترازی الیاف از لایهای به لایه دیگر ناهمتراز است. Brown [13] چهار ساختار را تصویر کرد: ساختار کانالی و سه نسخه از ساختار ناهمتراز.
پارامترها عبارتند از مقیاس، کسر بستهبندی، و نسبت بین فاصله بین الیاف و فاصله بین لایهها. اگر ناهمترازی بین لایههای متوالی وجود داشته باشد، آنگاه یک پارامتر چهارم که میزان ناهمترازی را توصیف میکند، مورد نیاز است. Brown [13] به چهار رویکرد اشاره میکند که در زیر فهرست شدهاند:
۱. گسترش مدل سلولی برای در نظر گرفتن الیاف مجاور—در این رویکرد، حل معادله دوهماهنگ (معادله ۳۴) نیاز به یک سری راهحل مرتبه بالاتر نسبت به راهحل مدل سلولی ساده معادله ۳۵ دارد. مؤلفههای شعاعی به طور مداوم تغییر میکنند. آنها را نمیتوان به سادگی با شعاع سلول و شعاع لیف مدل سلولی تعریف کرد. Sangani و Acrivos [19] یکی از مجموعههای محققانی هستند که از این رویکرد استفاده کردهاند. آنها از روش خود برای به دست آوردن یک راهحل عددی دقیق برای میدان جریان خزشی در آرایههایی با تخلخل بالا و پایین استفاده کردند.
با اشاره به ارتباط شخصی با مجید ضیاء از دانشگاه Rhode Island، Kahn [20] گزارش میدهد که ضیاء راهحل Sangani و Acrivos [19] را با خطوط جریان و سرعتهای شعاعی راهحل Kuwabara مقایسه کرده و دریافته است که عدم تطابق بین دو راهحل با افزایش جامدیتها، به ویژه در نزدیکی مرز سلول بالادست و در فواصل شعاعی فزاینده از سطح لیف، افزایش مییابد. ضیاء خاطرنشان کرد که کشش محاسبه شده برای جامدیتهای فیلتر تا ۰.۴ تقریباً یکسان بود. بالای ۰.۴، تفاوت به سرعت افزایش یافت. Kahn همچنین خاطرنشان میکند که برای ، افت فشار مربوط به آرایشهای خطی و ناهمتراز استوانههای موازی تقریباً یکسان است، با این حال، برای جامدیتهای افزایش یافته، کشش برای آرایههای خطی به طور قابل توجهی بیشتر از ساختارهای ناهمتراز است.
۲. روشهای عددی—روشهای تفاضل محدود راهی برای تجزیه معادلات دیفرانسیل پیچیده به شبکههایی از معادلات همزمان هستند. هر نقطه در شبکه به صورت جداگانه حل میشود تا راهحل تحلیلی تقریب زده شود. Fardi و Liu (۶۸) از این رویکرد برای حل اجزای ساده شده معادلات ناویه-استوکس به همراه معادله پیوستگی برای سرعت سیال استفاده کردند. تحلیل عددی نتایج بسیار خوبی را ارائه میدهد، به شرطی که شرایط مرزی مناسب در سطح اعمال شود. گسترش تحلیل عددی برای حل مسائل، دینامیک سیالات محاسباتی (CFD) است.
۳. روش تغییراتی—اصل Helmholtz برای یافتن الگوی جریانی که کمترین نرخ اتلاف انرژی را توسط کشش ویسکوز ایجاد میکند، استفاده میشود. تقارن دورهای یا آرایه لیف با استفاده از سری فوریه مورد بهرهبرداری قرار میگیرد. Brown [13] محاسباتی را با استفاده از مدل تغییراتی انجام داد و دریافت که اگرچه افت فشار به چیدمان لیف حساس نیست زمانی که فواصل بین الیاف و بین لایهها برابر هستند، ساختار زمانی که برابر نیستند رفتار بسیار متفاوتی دارد. اگر فاصله بین لایهها کمتر از فاصله بین الیاف باشد، آنگاه اثر فشردهسازی میتواند شبیهسازی شود. علاوه بر این، ساختار بسته به اینکه لایههای متوالی کانالی باشند یا ناهمتراز، رفتار متفاوتی دارد.
۴. روش المان مرزی— Brown [13] Hildyard و همکاران را به عنوان یکی از مجموعههای محققانی که از روش المان مرزی استفاده کردهاند، ذکر میکند. در این روش، معادله دوهماهنگ با استفاده از گرداب به دو معادله تقسیم میشود که منجر به دو معادله انتگرالی میشود. سپس مسئله به حل معادلات همزمان کاهش مییابد. براون گزارش میدهد که الگوهای جریان و افت فشار به دست آمده با این روش مشابه با روش تغییراتی است.
نظریه مدل درگ بر اساس نیروی درگ (مقاومت) یک جسم متحرک در سیال استوار است. معادله درگ به صورت زیر تعریف میشود:
که در آن:
اگر جسم یک لیف باشد که توسط طول واحد یک استوانه بلند که عمود بر جریان است، نمایش داده شود، آنگاه:
که در آن df قطر الیاف (بر حسب متر) است.
توجه داشته باشید که در رابطه ۵۳، مساحت مرجع A از رابطه ۵۲، سطح مقطع واحد طول استوانه (df × واحد طول) میباشد.
راه حل لمب برای نیروی درگ یک لیف منفرد به صورت زیر است:
که در آن Re عدد رینولدز است:
ضریب درگ لمب برای معادله ۵۷ به صورت زیر است:
مشکل معادله لمب این است که برای یک لیف منفرد است و اثر تداخل الیاف نزدیک دیگر در شبکه مدیای فیلتر را در نظر نمیگیرد.
مدلهای دیگر و تحقیقات بعدی:
که در آن k’ و k” ثابتهای معادله هستند.
معادلات درگ توسعه یافته از مدل Chen به شرح زیر بود:
که در آن:
آزمایشهای Chen نشان داد که جمله ضریب درگ، Cdχ/۲.Re، در طیف وسیعی از اعداد رینولدز ثابت است. چن همچنین بهترین دادههای برازش برای ثابتهای k۴ و k۵ را به ترتیب ۶.۱ و ۰.۶۴ تعیین کرد.
Kahn پارامتر ناهمسانگردی را به جهتگیری الیاف در مدیاهای واقعی مرتبط کرد. او ادعا کرد که مدل او خواص ساختاری مانند اندازه لیف، درصد مواد جامد و ناهمسانگردی را در نظر گرفته است. همچنین یک میدان جریان سه بعدی را محاسبه کرد. کان استدلال کرد که مدل او افت فشار را بسیار خوب پیشبینی میکند و راندمان جذب ذرات با دادههای تجربی مقایسه خوبی دارد، به جز در دامنههایی که مکانیسمهای انتشار، تداخل و اینرسی اهمیت برابر داشتند. او همچنین نشان داد که ناهمسانگردی تنها برای درصد مواد جامد بیشتر از ۰.۲ بر افت فشار تأثیر میگذارد.
نتایج این تحلیل نشان میدهد که انتخاب مناسب پارامترهای ساختاری مدیا بهویژه ضخامت، نفوذپذیری هوا و اندازه حفره، نقشی حیاتی در کنترل گذردهی و افت فشار دارد. افزایش ضخامت و تخلخل مدیا موجب بهبود ظرفیت نگهداری ذرات میشود، اما در مقابل، میتواند افت فشار را افزایش دهد. بنابراین، طراحی بهینه باید بر اساس توازن دقیق بین بازده فیلتراسیون و افت فشار انجام گیرد. بررسی تجربی و شبیهسازی این پارامترها در شرایط مختلف جریان و نوع سیال میتواند مسیر مناسبی برای توسعه مدیاهای پیشرفته با عملکرد بهتر فراهم آورد. در نهایت، بهینهسازی همزمان ویژگیهای فیزیکی و عملکردی مدیا، کلید دستیابی به فیلترهایی با کارایی بالا و طول عمر بیشتر است.
[۱] R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena, second ed., J. Wiley & Sons, Inc., 2002.
[۲] R.J. Wakeman, E.S. Tarleton, Filtration: equipment selection, Modeling and Process Simulation, Elsevier, 1999.
[۳] A. Jena, K. Gupta, Advanced Technology for Evaluation of Pore Structure Characteristics of Filter Media to Optimize Their Design and Performance. pmiapp.com. [Online] (2002). Available from: ,http://www.pmiapp.com/publications/index.html.
[۴] J.D. Lindsay, The Relative Flow Porosity of Paper in Liquid Flows. Tappi Nonwovens Conference Proceedings, 1993.
[۵] E. Albrecht, Theoretische Untersuchungen ubfer die Ablagerung Von Staun aus der loft and ihre Anwendung auf die Theorie de Staubfilter, Phys. Z. 32 (1931) 48.
[۶] W. Sell, Staubabscheidung an einfachen Korpern and Luftfiltern, VDI Ber. 247 (1931) 1 14.
[۷] A. Kaufmann, Diz Faserstoffe fur Atemschuhfilter. Z. Verein Deutshes. Ing., 80, p 593.
[۸] I. Langmuir, OSRD Report 865. U.S. Government Report, (1942), September 4.
[۹] J. Happel, Viscous flow relative to arrays of cylinders, AIChE J. 5 (1965) 174 177.
[۱۰] S. Kuwabara, The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in viscous flow at small reynolds numbers, Phy. Soc. Japan, J. Phys. Soc. 14 (1959) 527 532.
[۱۱] S.W. Yuan, Fondations of Fluid Dynamics, Prentice Hall, 1967.
[۱۲] A.A. Kirsch, N.A. Fuchs, The fluid flow in a system of parallel cylinders perpendicular to the flow direction at small reynolds numbers, J. Phys. Soc. Jpn. 22 (1967) 1251 1255.
[۱۳] R.C. Brown, Airflow through filters-beyond single fiber theory, in: K. Spurny (Ed.), Advances in Aerosol Filtration, Lewis Publishers, 1998, pp. 153 172.
[۱۴] J. Pich, Theory of aerosol filtration by fibrous and membrane filtes, in: C.N. Davies (Ed.), Aerosol Science, Acadamic Press, 1966, pp. 223 285.
[۱۵] J. Pich, Pressure drop of fibrous filters at small Knudsen numbers, Ann. Occup. Hyg. 9 (1966) 23 27.
[۱۶] T. Grafe, K. Graham, Nanofiber Webs from Electrospinning Nonwovens in Filtration. Stutgard, Germany: Fifth International Conference, (2003).
[۱۷] G. Chase, What is Slip-flow and How Does it Affect Filter Performance? Nanofiltration Filtration & Separations Society. [Online] Available from: ,http://www.afssociety.org/nanofiltration/84 what-is-slip-flow-and-how-does-it-affect-filter-performance.
[۱۸] Myagi, Viscous flow at low reynolds numbers past an infinite row of equal circular cylinders, J. Phys. Soc. Jpn. 13 (1958) 493 496.
[۱۹] A.S. Sangani, A. Acrivos, Slow flow past periodic arrays of cylinders with application to heat trans fer., Int. J. Multiphas. Flow 8 (1982) 193 206.
[۲۰] A.M. Khan, Historical review of filtration theories in fibrous media, AFSS Adv. Filtr. Sep. Technol. 9 (1995).
نویسنده: امین فروزان
ذخیره پست 
